MEETKUNDE
De meetkunde of geometrie is een onderdeel van de wiskunde die zich bezighoudt van het bepalen van afmetingen, vormen, de relatieve positie van figuren en de eigenschappen van de ruimte. De specifieke term ‘meetkunde’ werd rond 1600 door de Vlaamse wiskundige Simon Stevin geïntroduceerd.
De meetkunde is echter een van de oudste wetenschappen. Aanvankelijk was meetkunde een geheel van praktische kennis over lengtes, oppervlakten en volumes. In de 3e eeuw voor Christus door Euclides van Alexandrië van een axiomatisch fundament voorzien. De axioma’s werden gebruikt voor de wiskundige definietie van punten, rechte lijnen, krommen en vlakken, waar zich later de gehele meetkunde heeft uit ontwikkeld. De euclidische meetkunde was bijna 2000 jaar de norm, waaraan al het andere werk werd afgemeten.
Archimedes ontwikkelde ingenieuze technieken voor het berekenen van oppervlaktes en volumes. Ook in het veld van astronomie, waar men de posities van de sterren en planeten afschrijft op de hemelse koepelsfeer en beschrijft de relatie tussen bewegingen van hemellichamen, diende als een belangrijke bron van geometrische problemen tijdens het volgende en een half millenium. In de klassieke wereld, beide geometrie en astronomie waren een onderdeel van de zeven vrije kunsten, die belangrijk geacht waren voor elke vrije burger te studeren.
De praktische meetkunde is ontstaan als een praktische wetenschap, die zich bezighield met landmeten, afmetingen van voorwerpen, oppervlakte en volumes. Onder de opmerkelijke prestaties vindt men de formules voor het berekenen van lengten, oppervlakten en volumen, zoals de stelling van pythagoras, omtrek en oppervlak van een cirkel, opperclak van een driehoek, volume van een cilinder, sfeer en een piramide. Ontwikkelingen in de astronomie hebben samen met de daarmee gepaarde gaande computationele technieken tot de opkomst van de trigonometrie en de boldriehoeksmeetkunde.
De axiomatische meetkunde wordt gebruikt als een methode om bepaalde ontoegankelijke afstanden en hoogten te berekenen op basis van gelijkvormigheid van meetkundige figuren. Deze worden toegeschreven aan Thales van Milete. Deze liep vooruit op de meer abstracte benadering van de meetkunde, zoals door Eculides van Alexandrië uiteen werd gezet in zijn ‘Elementen’. Euclides voerde bepaalde axioma’s ( ook wel postulaten genoemd) in, op basis waarvan hij primaire of vanzelfsprekende eigenschappen van punten, lijnen en vlakken formuleerde. Daarna ging hij over tot een strenge deductie van andere eigenschappen van deze wiskundige objecten met behulp van wiskundige redeneringen. Het karakteristieke kenmerkt van de aanpak van Euclides van de meetkunde was haar strengheid.
In de Griekse oudheid besteedden wiskundigen bijzondere aandacht an de constructie van reeds bekende meetkundige objecten. Klassieke intrumenten die werden toegestaan in de meetkundige constructies waren de passer en een liniaal zonder schaalverdeling; dat laatste omat er nog geen symbolische notatie bestond voor getallen. Getalwaarden werden weergegeven doorgeconstrueerde lengten en oppervlakten. Sommige problemen bleken echter moeilijk of onmogelijk met deze middelen alleen op te lossen. Men vond inginieuze constructies met behulp van parabolen en andere krommen, zelfs mechanische apparaten. De aanpak van meetkundige problemen met meetkundige of mechanische middelen staat bekend als de synthetische meetkunde.
De pythagoreeërs beschouwden reeds de rol van getallen in de meetkunde. De ontdekking van de incommensurabele lengtes, die volkomen in strijd waren met hun filosofische opvattingen, zorgde echter voor een crisis en leidde er toe dat men de studie van de (abstacte) getallen verliet ten gunste van (concrete) meetkundige grootheden, zoals de lengte en oppervlakte van figuren. Getallen werde in vorm van coördinaten pas opnieuw in de meetkunde geïntrodueert door René Descates, die besefte dat de studie van meetkundige vormen door hen algebraische weergave kan worden vergemakkelijkt.
De analytische meetkunde past algebraische methoden toe op de meetkundige vragen, typisch door meetkundige krommen en algebraische vergelijkingen aan elkaar te relateren. Deze ideeën speelde in de 17e eeuw een belangrijke rol in de ontwikkeling van de analyse en leidden tot de ontdekknig van vele nieuwe eigenschappen van krommen. De moderne algebraische meetkunde beschouwt gelijksoortige vragen, maar dan op een veel abstracter niveau.
Verder, toonde de theorie van perspectief aan dat er meer aan geometrie of meetkunde dan enkel de meetbare eigenschappen van een figuur: perspectief is de ontstaan van projectieve meetkunde. Nog verder werd het veld van de geometrie verrijkt door de studie van de intrinsieke structuur van geometrische objecten, die ontstaan zijn bij Euler en Gauss en geleid hebben tot het ontstaan van topologie en differentiaal geometrie.
In de bijna 2 duizend jaar na Euclides, tijdens wanneer het aantal meetkundige vraagstukken die ook beantwoord zijn zijn uitgebreid, bleef het basisbegrip van ‘ruimte’ hetzelfde. Immanuel Kant argumenteerde dat er enkel één absolute, meetkunde, die gekend is a priori door een inner vermogen van de geest. Dit belangrijk idee was de aanzet tot de revolutionaire ontdekking van niet-euclidische meetkunde in het werk van Bolyai, Lobachevsky, and Gauss. Zij toonden aan dat de oorspronkelijke Euclidische ruimte enkel één mogelijkheid is voor de ontwikkeling van geometrie. Een brede visie op geometrie werd vervolgens uitgedrukt door Riemann in zijn theorie die aanschouwt zeer algemene ruimten waarin de notie lengte in weergegeven wordt, is een steunpilaar voor de moderne meetkunde. Riemann’s nieuwe idee van ruimte was cruciaal in Einstein’s algemene relativiteitstheorie.
FRACTALEN
Een fractal, ook wel fractaal genoemd is een meetkundige figuur die zelfgelijkend is, dat wil zeggen opgebouwd is uit delen die (min of meer) gelijkvormig zijn met de figuur zelf.
Fractalen hebben een oneindige hoeveelheid details en uitegetekend op een computer kan men oneindig blijven inzoomen of uitzoomen. Fractaaltekeningen zijn dus meetkundige figuren met een oneindige grote ‘resolutie’. Zo kunnen fractals gegenereerd worden door het herhaald toepassen van een bepaalde bewerking.
Wiskundige objecten met fractale eigenschappen werden pas eind 19e, begin 20ste eeuw ontdekt door wiskundigen als Helge von Koch, Georg Cantor, Henri Pointcaré, Gaston Julia,...
De term fractaal werd in 1975 voor het eerst geintroduceerd door Benoit B. Mandelbrot. Het woord is afgeleid van het Latijnse ‘fractus’, wat ‘gebroken’ betekend.
Helge von Koch was een Zweedse wiskundige die zijn naam gegeven heeft aan een van de bekendste en eerste fractale kromming beschreef, de Koch snowflake.
Mandelbrot was een Poolse, maar ook deels franse en amerikaanse wiskundige. Hoog gewaardeerd voor zijn ‘theory of roughness’ and ‘self-similarity’ in de natuur op vlak van fractale meetkunde. Later ontdekte hij de bekende “Mandelbrot set” van ingewikkelde, nooit eindigende vormen.
Mandelbrot was één van de eerste die toegang had tot graphische gegevens op computers voor het maken en visualiseren van fractale meetkundige vormen. Zo kon hij aantonen hoe visuele complexiteit kan rusten op heel simpele (vaak algoritmische) regels. Hij zei dat de dingen die vaak aanzien werden als chaotisch, zoals wolken, bergtoppen of kustlijnen, eigenlijk een bepaalde graad van orde hebben.
“Nature exhibits not simply a higher degree but an altogether different level of complexity ... The existence of these patterns challenges us to study these forms that Euclid leaves aside as being "formless."
~Benoit Mandelbrot
De fractaalmeetkunde of ‘fractal geometrie’ is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van fractalen. Het is een aanvulling op de klassieke meetkunde met toepassingen in de wetenschap, technologie en computerkunst.
FRACTALE DIMENSIE
In de klassieke (euclidische) meetkunde van figuren is een rechte lijn gesitueerd in de 1ste dimensie, een vlak in de 2de dimensie en tenslotte een ruimtelijke vorm in de 3de dimensie. Het begrip dimensie zoals we dat in het dagelijks kennen, is de Euclidische dimensie en dit is altijd een geheel getal (zoals 1, 2, 3, 4, enzv.)
Voor fractalen kan de dimensie niet zo eenvoudig aangegeven worden. Bij het herhalingsprocess waarbij een lijnenfiguur een fractal benadert, kan soms een tweedimensionaal gebied volledig gevuld worden en benadert de ééndimensionale vorm een tweedimensionale. Fractalen kunnen zich met andere woorden tussen de klassieke (gehele) dimensies bevinden.
Mandelbrot stelde vast dat de meeste fractalen een niet-geheeltallige dimensie hebben, die de fractaaaldimensie wordt genoemd. Elke verzameling met een niet-geheeltallige dimensie is dus een fractaal of fractal.
Een fractale dimensie is ook gekarakteriseerd als een maat van de ruimtevullende capaciteit va een bepaald patroon, die vertelt hoe een fractal anders schaalt dan de ruimte, waarin deze fractal is ingebed.
In de wiskunde is de hausdorff-dimensie, een niet negatief reëel of eventueel oneindig dimensiebegrip. De hausdorff-dimensie veralgeemt het begrip dimensie van een reële vectorruimte en kent aan elke metrische (getekende) ruimte een dimensie toe. Daarmee kijgen bijvoorbeeld ook fractalen een dimensie, zij het niet een geheel getal.
Voor gewone objecten als een punt, een lijn of een vlak komt de hausdorff-dimensie overeen met de gebruikelijke dimensie. Er zijn echter vele onregelmatige verzamelingen die niet een gewone dimensie hebben, maar wel een niet-geheeltallige hausdorff dimensie.
Het begrip werd in 1918 geïntroduceert door de duitse wiskundige Felix-Hausdorff. Veel technieken die worden gebruikt om de hausdorff-dimensie voor zeer onregelmatige verzamelingen te berekenen, werden ontwikkeld door Abram Besicovitch.
Het tapijt van sierpinskie, een object met hausdorff-dimensie (ln 8 / ln 3), dus ongeveer 1,8928
FRACTAL ALS NATUURVERSCHIJNSEL
De term fractaal werd voor het eerst gebruikt in 1975 door Benoit Mandelbrot. Het komt van het latijnes woord ‘fractus’ en betekend ‘gebroken / onregelmatig oppervlak’. Zoals het oppervlak van een gebroken steen of bot.
Fractalen zijn onregelmatige meetkundige vormen die hetzelfde niveaus van onregelmatigheid vertonen op elke schaal van de fractaaltekening. Net zoals de steen die aan de voet van een berg ligt, gelijkt op een miniatuur van de berg, waar de steen oorspronkelijk afbrak en naar beneden rolde. En zo ook zijn fractalen zelf-gelijkend wanneer men ze van dicht of van ver bekijkt.
Fractals zijn de soort van vormen die we zien in onze eigen natuur en in de beleving van die natuur. Enerzijds kunnen we een rechthoekige driehoek abstraheren in het idee, maar om een perfecte rechthoekige driehoe te vinden in de natuur is van een andere orde. We zien bomen, bergen, stenen en allerlei soorten wolken, maar wat is nu precies de formule voor een wolk of berg? Fractale meetkunde poogt een waging om vragen als deze te beantwoorden. Met de fractale meetkunde ontdekt men een verbazend samenhangend geheel achter het zo lijkende chaotische universum.
Benaderende fractalen vinden we voortdurend in de natuur, ze vertonen zelf-gelijkheid tot op een bepaalde schaal maar ze zijn eindig. Het verband tussen fractalen en bladeren wordt momenteel gebruikt om te bepalen hoe veel koolstof de boom bevat.
Voorbeelden van verschijnselen of fenomenen die geweten zijn in de natuur die fractale eigenschappen vertonen:
River networks, fault lines, mountain ranges, craters, lightning bolts, coastlines, mountain goat horns, trees, animal coloration patterns, Romanesque broccoli, pineapple, heartbeat, earthquakes, snowflakes, psychological subjective perception, crystals, blood vessels, pulmonary vessels, ocean waves, DNA, fractals also comes from higher fractals,...
ATTRACTOR
Een attractor of aantrekker is in de systeemtheorie iets waar een dynamisch systeem zich in de loop van de tijd naar toe evolueert en daar vervolgens blijft, ongeacht of er sprake is van enige verstoring achteraf. Het systeem legt zo een bepaald traject in de richting van de aantrekker af. Dit traject kan de vorm hebben van een periodieke of chaotische functie (in het geval van een vreemde aantrekker).
Het begrip aantrekker of ‘attractor’ heeft uiteenlopende betkenissen. In meetkundig opzicht kan een attractor bijvoorbeeld een punt, een lijn, een oppervlakte, een inhoud, een limietcykel, een kromme of een variëtiet zijn. In enkele gevallen heeft een attractor zelfde de structuur van een fractal en een chaotische of hausdorff-dimensie. Men spreekt in dit geval van een vreemde aantrekker of ‘strange attractor’
Bij een periodiek stelsel, bijvoorbeeld bij de meeste bewginen in het zonnestelsel zoals de baan van ed aarde om de zon, doorloopt het systeem telkens een beperkt aantal toestanden opnieuw. De verzameling van toestanden kan een baan genoemd worden. De beschrijving vergt maar een beperkt aantal kenmerkende getallen, bijvoorbeeld de lengte van het jaar. De zon dient hierbij als de (gewone) aantrekker van het stelsel middels de zwaartekracht.
Er zijn drie soorten gewone aantrekkers, de twee eenvoudigste zijn dekpunten en limietcykels. Een iets moeilijkere is de limiettori.
Een dekpunt is een punt in een functie dat niet verandert onder invloed van een transformatie. De transformatie is in dit geval de evolutie van het dynamisch systeem. Het dekpunt kan bijvoorbeeld het eindpunt van deze evolutie zijn, zoals het water dat overblijft in een fles nadat eerst de ijsblokjes zijn gesmolten.
Een limietcykel is een periodieke baan die door een geïsoleerd systeem wordt beschreven. Een voorbeeld hiervan is de dag en nacht-cyclus of de cyclus van de maan.
De vreemde aantrekker of strange attractor is als wiskundig begrip voor het eerst genoemd in een publicatie van 1971 van de wiskundigen David Ruelle en Flaris Takens. Het wordt gebruikt voor de beschrijving van aantrekkers in determinisctische niet-periodieke bewegingen van een chaotisch systeem en is daarmee een belangrijk begrip in de systeemtheorie of chaostheorie genoemd. Voorbeelde van vreemde attractoren zijn de Lorenz-aantrekker, de Rossler-aantrekker, de Hénon-aantrekker en de Tamari-aantrekker.
Sommige hemellichamen (en vele ander systemen in de natuurkunde, de biologie en zelfs sociale wetenschappen) doorlopen een eindeloze reeks toestanden die niet periodiek zijn. Zij zijn daardoor grotendeels onvoorspelbaar, zeker op de langere termijn. Dit is in het algemeen het gevolg van de gelijktijdige werking van meerdere krachten die een niet-linaire invloed uitoefenen op het stelsel of systeem.
In zo een stelsel kan een toestand nooit volledig herhaal worden, al kan het bijzonder dicht bij een voorgaande staat komen. Het steeds groeiende verschil in de ontwikkeling van een stelsel wordt het vlindereffect genoemd. Bijvoorbeeld het verschil in luchtdruk dat door een vlinder in china gemaakt wordt, kan op het moment dat de vlinder met zijn vleugels fladdert misschien het verschil tussen 1 en 1.00000000000001 atmosfeer uitmaken. Maar door de ontwikkeling van het weer kan dit in België dan weer het verschil uitmaken tussen prachtig weer of een hevige onweersbui.
DE CANTORVERZAMELING
De cantor verzameling, genoemd naar de Duitse wiskundige Cantor, is een deelverzameling van de reeële getallen die volgens de de maattheorie de maat 0 heeft.
De maattheorie is het deelgebied van de wiskunde dat de elementaire begripen van maat (lengte, oppervlakte en volume) veralgemeent, zodat ook aan ingewikkelder verzamelingen dan die van ‘gewone’ punten in een ruimte een maat kan worden toegekend.
Naar analogie van de hieronder beschreven cantorverzameling noemt men soortgelijke verzamelingen ook cantorverzamelingen.
De cantorverzameling is ook een zeer eenvoudig fractaal, die multi-dimensionaal kan gerepresenteerd worden.
The cantor set, met een hausdorff-dimensie van ongeveer 0.6309
The assymetric cantor set, met een haussdorff-dimensie van ongeveer 0.6942
Andere varianten op de cantor set zijn:
Smith-Volterra-Cantor set, met een hausdorff-dimensie van ongeveer 1
2D Cantor dust, met een hausdorff-dimensie van ongeveer 1.2619
Cantor stof is een multi-dimensionale versie van de cantor set. Net zoals de Cantorverzameling, is Cantor stof een nulverzameling. Dit wil zeggen een verzameling die als maat nul heeft.
Een verzameling met maat nul, en dus een nulverzameling, hoeft niet noodzakelijkerwijs te betekenen dat de verzameling ook geen elementen bevat. Binnen de verzameling van de reeële getallen en de hierop gebruikelijke maten is het zo dat iedere verzameling met een eindig aantal elementen een nulverzameling is.
Het gaat zelfs nog een stapje verder: ook verzamelingen met een oneindig, maar aftelbaar aantal elementen zijn een nulverzameling.
En zelfs dit wordt overtroffen: er bestaan namelijk overaftelbare verzamelingen die toch een nulverzameling zijn. Een voorbeeld van het laatste is de cantor set.
DE LOGARITMISCHE SPIRAAL
De logaritmische spiraal is een meetkundig figuur. Deze spiraal komt veelvuldig voor in de natuur, meer bepaald in de biologie. Dit komt doordat de aangroei van de voerstraal evenredig is met de voerstraal zelf, met als gevolg dat de voerstraal een exponentiële functie van de hoek is. In biologische termen vetaalt zich dat als een aangroei die evenredig is met de reeds bereikte grootte van het organisme. De wiskundige Jakob Bernoeilli gaf deze curve de Latijnse naam; Spira mirabilis.
Zoals reeds vermeld is de aangroei van de voerstraal bij de logaritmische spiraal evenredig met de exponent van de voerstraal. Dit principe, een aangroei die evenredig is met de reeds aanwezige afmetingen, vindt men terug in biologische systemen, zoals schelpen van weekdieren. Ook een havik nadert zijn prooi via een logaritmische spiraal. Dit is het gevolg van het feit dat hij het scherpst ziet onder een bepaalde hoek tegenover zijn vliegrichting.
DE VON KOCH KROMME
De koch-kromme is in de wiskunde een kromme die in 1904 bedacht is door de Zweedse wiskudige Helge von Koch als bijvoorebeeld van een kromme die overal continu is, maar nergers differentieerbaar. De kromme is wat we nu, 100 jaar later, een fractal noemen en wordt voorgesteld door de grenslijn van het groene gebied in de onderstaande figuur:
Bovendien is de lengte van de Koch-kromme oneindig, de lengte van de iteraties wordt met elke stap een facter 4/3 groter. Dat houdt ook in dat de lengte van elke deelkromme, die gelijkvormig is met de kromme, ook onbegrensd is. De afstad van enig punt van de kromme tot om het even welk ander punt, is dus ook oneindig.
Hoewel de kormme een onbegrensde lengte heeft, is de oppervlakte van het gebied onder de kromme (groen in de figuur) wel eindig. De kromme is een fractal met Hausdorff-dmensie van ongeveer 1.26
Bekend is ook de koch-sneeuwvlok die ontstaat door te beginnen met een gelijkzijdige driehoek en op iedere zijde ervan het bovenstaande iteratieproces toe te passen.
TAPIJT VAN SIERPINSKIE & SPONS VAN MENGER
Een ander analoog van de 2D cantorverzameling is het Sierpinski tapijt, waar een vierkant is onderverdeelt in negen kleineren vierkanten, de middelste verwijderen, en de overige acht vierkanten worden dan verder verdeelt in negen nog kleinere vierkanten en zo onendig verder. Het 3D analoog van dit is de Menger spons.
Het tapijt van Sierpinski, met een hausdorff-dimensie van 1.8687
Menger spons, met een hausdorff-dimensie van 2.768
DE ZEEF VAN SIERPINSKI & DE DRIEHOEK VAN PASCAL
De driehoek van sierpinski is een fractal die werd ontdekt door de Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski.
Uit een gelijkzijdige driegoek wordt de driehoek verwijderd die gevormd wordt door de middens van de zijden. Vervlgens wordt deze procedure herhaald in elk van de drie overgebleven driehoeken. De procedure wordt oneindig herhaal. Wanneer dit proces in de ruimte wordt herhaald, krijgt men een piramide.
Evolutie van de driehoek van sierpinski:
De driehoek of zeef van sierpinski, heeft een hausdorff-dimensie van ongeveer 1.585
Als men in een driehoek van pascal de even getallen wit en de oneven getallen zwart kleurt is het resultaat de sierpinski-driehoek. De oppervlakte van een sierpinksi-driehoek is nul. De oppervlakte die overblijft na elke iteratie is altijd ¾ van de oppervlakte van de vorige iteratie, en een oneindig aantal iteraties resulteert daarom in een oppervlakte van nul.
Driehoek van pascal
Andere varianten zijn de sierpinksi tetrahedon en de fractal piramide.
Sierpinski tetrahedon, met een hausdorff-dimensie van 2
Fractal piramide, met een haussdorff-dimensie van 2.3219
LEVY C KROMME (LEVY –DRAAK)
In wiskunde, de Levy C kromme is een zelf-gelijkende fractaal die voor het eerst beschreven werd door, en wiens eigenschappen geanalyseerd werden door Ernesto Cesaro in 1906.
Men kan deze construcie opbouwen d.m.v een Lindenmayer systeem:
Variabelen: F (draw forward)
Constanten: +/- (turn (anti-)clockwise)
Start: F
Rules: F -> + F- -F +
De fractale kromme die de limiet is van dit oneindig process wordt de Lévy C kromme genoemd. De Lévy C kromme heeft een haussdorf-dimensie van bijna 2 (1.9340).
De eerste acht stadia in de opbouw van de Levy C kromme:
De Levy C kromme, na de eerste 12 stadia
PEANO-KROMME
In de meetkunde of geometrie is de Peano kromme het eerste voorbeeld van een appervlakte vullende curve, die is ontdekt bij Giuseppe Peano in 1890. De Hausdorff-dimensie is exact 2.
Constructie:
Een verzameling van krommen die gebouwt zijn op een gelijkaardige manier zin:
The Moore curve (kan uitgebouwd worden tot 3 dimensies
Z-kromme
H-FRACTAL
Een H-fractal of ook wel mandelbrot-boom , kan worden geconstrueerd door te beginnen met een lijnstuk van willekeurige lengte, teken teken twee kortere segmenten haaks op de eerste door zijn eindpunten, en zo herhalen, terwijl men steeds de lengte van de segmenten deelt door √2.
De H-fractal is een zelfgelijkende meetkundige figuur met een haussdorff-dimensie van 2. De punten van de H-fractaal komen heel erg dicht tot elk punt in een rechthoek, toch niet helemaal.
DE LINDENMAYER OF L-SYSTEMEN
Een L-systeem of Lindemayer systeem is een parallel herschrijfsysteem en men kan het ook vergelijken met een soort van formele grammatica. Een L-systeem bestaat uit een alfabet van symbolen die kunnen worden gebruik om een koord van symbolen of een ‘string’ te maken, een verzameling van productieregels die elk symbool vergroot naar een koord van verschillende symbolen (string), een eerste of initiele axioma string waar de bouw begint te vergroten en tenslotte een mechanisme voor het vertalen van de gegenereerde tekenreeksen in geometricsche structuren.
L-systemen werden geïntroduceerd en ontwikkeld in 1968 door Aristid Lindenmayer, een hongaarse theoretisch bioloog en botanicus aan de universiteit van Utrecht. Lindenmayer gebruikte L-systemen om het gedrag van plantencellen te beschrijven en voor het modelleren van de groeiprocessen van de plant. Als bioloog heeft Lindenmayer gewerkt met bepaalde soorten gisten en filamenteuze schimmels en bestudeerde de groeipatronen van verschillende soorten algen. Oorspronkelijk werden de L-systemen bedacht om een formele beschrijvng te geven van de ontwikkeling van zeer eenvoudige meercellige organismen te voorzien (vb planten), en om de buurtrelaties tussen de plantencellen te illustreren. Later werd dit systeem uitgebreid tot ‘hogere’ planten die complex vertakkende structuren beschrijven.
De herhalende aard van de regels die binnen het L-systeem herhaald worden, leidt tot zelf-gelijkenis en daardoor vaak fractaal-achtige vormen, die heel gemakkelijk te beschrijven zijn met het L-systeem. De modellering van planten en natuurlijk ogende organische vormen zijn gemakkelijk te definiëren. Bij het verhogen van het herhalingsniveau wordt de vorm steeds groter en ‘groeit’ het in complexiteit. Lindemanyer systemen zijn ook populair in de vorming van kunstmatig leven.
G = (V, ω, P),
Waarin
V (het alfabet) is een verzameling van symbolen die elementen bevatten die vervangen kunnen worden (variabelen)
Ω (start, axiom of initiator), is een koord van symbolen van V die de eerste toestand van het systeem definiëert.
P is een geheel van productieregels die aangeven hoe de variabelen worden vervangen door combinaties van constanten en andere variabelen. Elke productie(regel) bestaat uit twee snaren, een voorganger en een opvolger.
EXAMPLE: Algea
Lindemayer’s originele L-systeem voor het modelleren van het groeiprocess van algen.
Variabelen: A B
Constanten: geen
Start: A
Rules: (A -> AB), (B->A)
En dit produceert:
N= 0 : A
N= 1 : AB
N= 2 : ABA
N= 3 : ABAAB
N= 4 : ABAABABA
N= 5 : ABAABABAABAAB
Andere voorbeelden van L-systemen zijn: Cantor dust, Koch curve, Sierpinski driehoek, drakenkromme,...
DE DRAKENKROMME
Een drakenkromme is elk element van de verzameling van zelf-gelijkende fracaalkromme, bij benadering van herhalingsmethoden zoals de lindenmayer systemen.
De Heighway draak kan geschreven worden als een Lindenmayer systeem met: rechte hoek (90°), initiator string FX, productieregels (X -> X + YF +, Y -> -FX –Y):
De tweeling draak (ook gekend als Davis knuth draak, can gegenereerd worden door de Heighway-drakenrkomme rug-aan-rug.
De tweelingdraak (twin dragon)
Nog een andere variant is de Terdraak (Terdragon):
PENROSE-BETEGELING
Een Penrose-betegeling is een niet-periodieke betegeling, gegeneeerd door een aperiodieke verzameling van “proto-tegels” en vernoemd naar Roger Penrose die deze verzamelingen in de jaren ’70 van de 20ste eeuw heeft onderzocht. Aangezien alle betegelingen verkregen met de Penrose tegels niet-periodiek zijn, worden zo ook aperiodiek genoemd. Dit is echter niet helemaal correct: van de oneindig vele mogelijke betegelingen zijn er slechts twee die wel spiegelsymmetrie als vijfvoudige rotatiesymetrie bezitten.
Penrose ontdekte dat het vlak kan worden betegeld met slecht twee figuren of ‘tegels’, waarbij:
- Het vlak kan worden betegeld (zonder overlapping of gaten) door oneindig veel exemplaren van de twee tegels, .
- Geen enkele betegeling periodiek is
- Elk eindig begrensd deel van een betegeling een oneingig aantal male voorkomt in elke andere betegeling
voorbeelden van een Penrose betegeling:
BOOM VAN PYTHAGORAS
De boom van pythagoras is een fractal bedacht door de Nederlandse wiskundeleraar Albert E. Bosman in 1942 en werd vernoemd naar Pythagoras vanwege de driehoeksverhoudingen met de kenmerkende rechte hoek. De fractal wordt opgebouwd door vierkante en lijkt op de vorm van een dwarsdoorsnede van een broccoli of bloemkoom
De bouw van de boom van Pythagoras begint met een vierkant. Op dit vierkant worden aan een hoek van 45 graden vervolgens twee kleinren vierkanten gezet. Deze kleinere vierkanten zijn een lineaire factor 1/2√2 kleiner dan het asisvierkant. Zo valt een hoek van het linkervierkant smane met een hoek van het rechtervierkant. Dezelfde procedure wordt vervolgens ad infinitum (“tot in het oneindige”) herhaald toegepast op steeds weer nieuwe vierkanten. De afbeelding hieronder toon de eerste vier iteraties in het bouwproces voor de boom van Pythagoras. De hausdorff-dimensie van de boom is 2.
Een interessante verzameling van variaties op de boom van pythagoras kan men bekomen door de gelijkzijdige driehoek te behouden maar de basishoek (90° bij de standaard boom van Pythagoras. Zeker wanneer men de basis hoek 30° is, dan ziet men dat de grootte van de vierkanten constant blijft. Het gehele patroon noem men de rhombitrihexagonal tiling:
DE HOORN VAN GABRIËL
De hoorn van Gabriël (ook: trompet van Torricelli) is in de wiskunde een ruimtelijk lichaam, uitgevonden door de evangelista Torricelli. Deze truimtelijke figuur is zo bijzonder omdat ze een onbegrensde oppervlakte heeft, maar wel een begrensd volume. De naam verwijst naar het religieuze verhaal van de Dag des oordeels, waarop de aartsengel Gabriel op de trompet blaast. Hierbij wordt het oneindige gelinkt aan het goddelijke.
Omdat de Hoorn een eindig volume heeft maar een oneindig oppervlakte, lijkt het dat de hoorn gevuld zou kunnen worden met een eindig volume van bijvoorbeeld verf, en toch zou die verf niet volstaan om de inner oppervlakte van de figuur te beschilderen. Dit lijkt een paradox te zijn. Toch, zou men de inner en uiter oppervlakte beschilderen, laag voor laag, met verf, zou een oneindig hoeveelheid verf nodig zijn.
3D FRACTALEN OP NANOSCHAAL
Fractals genieten vooral bekendheid in de wiskunde, maar wetenschappers van de Technische Universiteit Twente (Utwente) hebben nu een methode ontwikkeld om fractals in drie dimensies te bouwen op nanoschaal. Volgens de wetenschappers zou dit toepassingen hebben voor FILTERS & KATALYSATORS
Het is de wetenschappers van de Utwente gelukt een stukje wiskunde naar de nanowereld te brengen. Ze ontwikkelde een methode om een driedimensionale structuur te maken die de eigenschappen van een fractal hebben. (in dit voorbeeld schijnbaar oneindig).
ETS NA ETS
De wetenschappers maakten gebruik van een methode die de afgelopen acht jaar aan de Utwente is ontwikkeld en verfijnd. De fractals worden gemaakt door ze als het ware uit een vlakke laaf silicium te etsen. Bij het etsen worden er siliciumatomen ‘weggegeten’ door een etsmiddel.
Om te beginnen wordt er op een laag silicium waarin van te voren piramidevormige kuiltjes zijn geetst een laag van siliciumnitride aangebracht. Deze laag dient als een soort masker, die er voor zorgt dat het etsmiddel op de plekken waar het is aangebracht niet werkt. Het masker wordt door een volgende behandeling eigenlijk meteen weer weggeëtst. Maar cruciaal is dat er in de puntjes van de piramides een restje achterblijft.
Door vervolgens het oppervlak te laten oxideren in een hete oven ontstaat er een harde, niet-etsbare laag van siliciumoxide die over het silicium ligt. Dit gaat als het ware het ‘lichaam’ van de fractaal vormen. De volgende stap is het weghalen van het masker, dat nog steeds in de punt van de piramide vast zit. Nadat dit is gebeurd bestaat de fractaal in wording uit een harde siliciumoxidelaag met een klein gaatje in de punt.
OCTAEDERS
De eerste echte etsstap kan nu plaastvinden waarbij er silicium onder de siliciumoxidelaag wordt weggeetst. Dat is overigens een merkwaardig proces, wat op de punt van de piramide ontstaat niet simpelweg een gat, maar eenzogenoemde octaedrische holte. Dit heeft te maken met de specifieke kristalstructuur van het silicium. Sommige atomen in dit rooster zijn met twee andere buuratomen verbonden, andere hebben drie buren. Daardoor ontstaat er een voorkeursrichting voor het wegetsten van de atomen.
Het octaeder dat nu onder de piramide in de silicumlaag zit kan nu weer behandeld worden met siliciumnitride, het masker dat in de eerste stap ook werd gebruikt. Na verwijdering blijven er opnieuw restjes achter in de puntjes van de structuur. Door dit proces te herhalen groeien er telkens nieuwe octaeders op de hoekpunten van de structuur.
Uiteindelijk ontstaat er een reeks van octaeders die op de hoekpunten kleinere octaeders hebben, die op hun beurt nog kleinere octaeders hebben. Oftewel, een fractal, die in theorie oneindig zou doorgaan. De fractals die nagebouwd worden op nanoschaal zijn echter niet oneindig, er worden vaak 4 of 5 etsrondes gedaan.
FILTREREN & KATALYSEREN
Hoewel fractals vooral in de wiskunde en in de computerwereld veel theoretische mogelijkheden bieden bij bijvoorbeeld de beschrijving van chaotische en natuurlijke systemen, bieden fractals ook verschillende praktische kansen. De fractals die op nanoschaal worden nagemaakt bevatten heel veel gaatjes van min of meer dezelfde grootte. Na vier maal etsen zou men zo’n 625 gaatjes hebben van ongeveer dezelfde grootte. Die zouden bijvoorbeeld prima gebruikte kunnen worden voor het filtreren van vloeistoffen.
Maar ook voor het katalyseren van chemische reacties kunnen deze fractals veel te bieden hebben. Stel nu dat we in de plaats van de siliciumnitridelaag, maar een laag met katalytische eigenschappen zoals goud of zilver. Omdat deze laag door zijn bijzondere structuur z’on grote oppervlakte heeft binnen een klein volume zou hij prime in staat moeten zijn om reacties te katalyseren. Waar reacties in een klein volume bij een relatief lage temperatuur toch snel zou moeten gebeuren
Geen opmerkingen:
Een reactie posten