The epic of gilgamesh

A brief history of Glass

The Discovery of Glass

Natural glass has existed since the beginnings of time, formed when certain types of
rocks melt as a result of high-temperature phenomena such as volcanic eruptions,
lightning strikes or the impact of meteorites, and then cool and solidify rapidly. Stone-age
man is believed to have used cutting tools made of obsidian (a natural glass of volcanic
 origin also known as hyalopsite, Iceland agate, or mountain mahogany) and tektites
(naturally-formed glasses of extraterrestrial or other origin, also referred to as
obsidianites).

According to the ancient-Roman historian Pliny (AD 23-79), Phoenician merchants
transporting stone actually discovered glass (or rather became aware of its existence
 accidentally) in the region of Syria around 5000 BC. Pliny tells how the merchants, after
landing, rested cooking pots on blocks of nitrate placed by their fire. With the intense
heat of the fire, the blocks eventually melted and mixed with the sand of the beach to form
an opaque liquid.

This brief history looks, however, at the origins and evolution of man-made glass.



A Craft Is Born

 The earliest man-made glass objects, mainly non-transparent glass beads, are thought to
date back to around 3500 BC, with finds in Egypt and Eastern Mesopotamia. In the third
 millennium, in central Mesopotamia, the basic raw materials of glass were being used
principally to produce glazes on pots and vases. The discovery may have been
coincidental, with calciferous sand finding its way into an overheated kiln and
combining with soda to form a coloured glaze on the ceramics. It was then, above all,
Phoenician merchants and sailors who spread this new art along the coasts of the
Mediterranean.

The oldest fragments of glass vases (evidence of the origins of the hollow glass industry),
however, date back to the 16th century BC and were found in Mesopotamia. Hollow
glass production was also evolving around this time in Egypt, and there is evidence of
other ancient glassmaking activities emerging independently in Mycenae (Greece), China
 and North Tyrol.



Early Hollow Glass Production
 After 1500 BC, Egyptian craftsmen are known to have begun developing a method for
producing glass pots by dipping a core mould of compacted sand into molten glass and
then turning the mould so that molten glass adhered to it. While still soft, the
glass-covered mould could then be rolled on a slab of stone in order to smooth or
decorate it. The earliest examples of Egyptian glassware are three vases bearing
the name of the Pharaoh Thoutmosis III (1504-1450 BC), who brought glassmakers to
Egypt as prisoners following a successful military campaign in Asia.

There is little evidence of further evolution until the 9th century BC, when glassmaking
revived in Mesopotamia. Over the following 500 years, glass production centred on
Alessandria, from where it is thought to have spread to Italy.

The first glassmaking "manual" dates back to around 650 BC. Instructions on how to make
glass are contained in tablets from the library of the Assyrian king Ashurbanipal
(669-626 BC).




Starting to Blow
 A major breakthrough in glassmaking was the discovery of glassblowing some time
between 27 BC and AD 14, attributed to Syrian craftsmen from the Sidon-Babylon area.
The long thin metal tube used in the blowing process has changed very little since
then. In the last century BC, the ancient Romans then began blowing glass inside moulds,
greatly increasing the variety of shapes possible for hollow glass items.



The Roman Connection
 The Romans also did much to spread glassmaking technology. With its conquests, trade
relations, road building, and effective political and economical administration, the Roman
 Empire created the conditions for the flourishing of glassworks across western Europe
and the Mediterranean. During the reign of the emperor Augustus, glass objects
began to appear throughout Italy, in France, Germany and Switzerland. Roman glass has
even been found as far afield as China, shipped there along the silk routes.

It was the Romans who began to use glass for architectural purposes, with the discovery
of clear glass (through the introduction of manganese oxide) in Alexandria around
AD 100. Cast glass windows, albeit with poor optical qualities, thus began to appear in the
most important buildings in Rome and the most luxurious villas of Herculaneum and
Pompeii.

With the geographical division of the empires, glass craftsmen began to migrate less, and
eastern and western glassware gradually acquired more distinct characteristics.
Alexandria remained the most important glassmaking area in the East, producing luxury
glass items mainly for export. The world famous Portland Vase is perhaps the finest
known example of Alexandrian skills. In Rome's Western empire, the city of Köln in
the Rhineland developed as the hub of the glassmaking industry, adopting, however,
mainly eastern techniques. Then, the decline of the Roman Empire and culture
slowed progress in the field of glassmaking techniques, particularly through the 5th
century. Germanic glassware became less ornate, with craftsmen abandoning or not
developing the decorating skills they had acquired.



The Early Middle Ages
 Archaeological excavations on the island of Torcello near Venice, Italy, have unearthed
objects from the late 7th and early 8th centuries which bear witness to the transition
from ancient to early Middle Ages production of glass.

Towards the year 1000, a significant change in European glassmaking techniques took
place. Given the difficulties in importing raw materials, soda glass was gradually replaced
 by glass made using the potash obtained from the burning of trees. At this point, glass
made north of the Alps began to differ from glass made in the Mediterranean area, with
 Italy, for example, sticking to soda ash as its dominant raw material.



Sheet Glass Skills
 The 11th century also saw the development by German glass craftsmen of a technique -
then further developed by Venetian craftsmen in the 13th century - for the production
of glass sheets. By blowing a hollow glass sphere and swinging it vertically, gravity would
pull the glass into a cylindrical "pod" measuring as much as 3 metres long, with a
width of up to 45 cm. While still hot, the ends of the pod were cut off and the resulting
cylinder cut lengthways and laid flat. Other types of sheet glass included crown glass
(also known as "bullions"), relatively common across western Europe. With this technique,
a glass ball was blown and then opened outwards on the opposite side to the pipe.
Spinning the semi-molten ball then caused it to flatten and increase in size, but only
up to a limited diameter. The panes thus created would then be joined with lead strips and
pieced together to create windows. Glazing remained, however, a great luxury up to
the late Middle Ages, with royal palaces and churches the most likely buildings to have
glass windows. Stained glass windows reached their peak as the Middle Ages drew
to a close, with an increasing number of public buildings, inns and the homes of the
wealthy fitted with clear or coloured glass decorated with historical scenes and coats
of arms.




Venice
 In the Middle Ages, the Italian city of Venice assumed its role as the glassmaking centre
of the western world. The Venetian merchant fleet ruled the Mediterranean waves and
 helped supply Venice's glass craftsmen with the technical know-how of their counterparts
in Syria, and with the artistic influence of Islam. The importance of the glass industry
in Venice can be seen not only in the number of craftsmen at work there (more than 8,000
at one point). A 1271 ordinance, a type of glass sector statute, laid down certain
protectionist measures such as a ban on imports of foreign glass and a ban on foreign
glassmakers who wished to work in Venice: non-Venetian craftsmen were themselves
 clearly sufficiently skilled to pose a threat.

Until the end of the 13th century, most glassmaking in Venice took place in the city itself.
However, the frequent fires caused by the furnaces led the city authorities, in 1291,
to order the transfer of glassmaking to the island of Murano. The measure also made it
easier for the city to keep an eye on what was one of its main assets, ensuring that no
 glassmaking skills or secrets were exported.

In the 14th century, another important Italian glassmaking industry developed at Altare,
near Genoa. Its importance lies largely in the fact that it was not subject to the strict
statutes of Venice as regards the exporting of glass working skills. Thus, during the 16th
century, craftsmen from Altare helped extend the new styles and techniques of
Italian glass to other parts of Europe, particularly France.

In the second half of the 15th century, the craftsmen of Murano started using quartz sand
and potash made from sea plants to produce particularly pure crystal. By the end of
the 16th century, 3,000 of the island's 7,000 inhabitants were involved in some way in the
glassmaking industry.



Lead Crystal
 The development of lead crystal has been attributed to the English glassmaker George
Ravenscroft (1618-1681), who patented his new glass in 1674. He had been
commissioned to find a substitute for the Venetian crystal produced in Murano and
based on pure quartz sand and potash. By using higher proportions of lead oxide instead
of potash, he succeeded in producing a brilliant glass with a high refractive index
which was very well suited for deep cutting and engraving.



Advances from France
 In 1688, in France, a new process was developed for the production of plate glass,
principally for use in mirrors, whose optical qualities had, until then, left much to be
desired. The molten glass was poured onto a special table and rolled out flat. After
cooling, the plate glass was ground on large round tables by means of rotating cast iron
 discs and increasingly fine abrasive sands, and then polished using felt disks. The
result of this "plate pouring" process was flat glass with good optical transmission
qualities. When coated on one side with a reflective, low melting metal, high-quality
mirrors could be produced.

France also took steps to promote its own glass industry and attract glass experts from
Venice; not an easy move for Venetians keen on exporting their abilities and know-how,
 given the history of discouragement of such behaviour (at one point, Venetian glass
craftsmen faced death threats if they disclosed glassmaking secrets or took their skills
 abroad). The French court, for its part, placed heavy duties on glass imports and offered
Venetian glassmakers a number of incentives: French nationality after eight years and
 total exemption from taxes, to name just two.



From Craft to Industry
 It was not until the latter stages of the Industrial Revolution, however, that mechanical
technology for mass production and in-depth scientific research into the relationship
between the composition of glass and its physical qualities began to appear in the
industry.

A key figure and one of the forefathers of modern glass research was the German
scientist Otto Schott (1851-1935), who used scientific methods to study the effects of
numerous chemical elements on the optical and thermal properties of glass. In the
field of optical glass, Schott teamed up with Ernst Abbe (1840-1905), a professor at the
University of Jena and joint owner of the Carl Zeiss firm, to make significant
technological advances.

Another major contributor in the evolution towards mass production was Friedrich
Siemens, who invented the tank furnace. This rapidly replaced the old pot furnace and
 allowed the continuous production of far greater quantities of molten glass.



Increasing Automation
 Towards the end of the 19th century, the American engineer Michael Owens (1859-1923)
invented an automatic bottle blowing machine which only arrived in Europe after the turn
 of the century. Owens was backed financially by E.D.L. Libbey, owner of the Libbey
Glass Co. of Toledo, Ohio. By the year 1920, in the United States, there were around 200
 automatic Owens Libbey Suction Blow machines operating. In Europe, smaller, more
versatile machines from companies like O'Neill, Miller and Lynch were also popular.

Added impetus was given to automatic production processes in 1923 with the
development of the gob feeder, which ensured the rapid supply of more consistently sized
gobs in bottle production. Soon afterwards, in 1925, IS (individual section) machines
were developed. Used in conjunction with the gob feeders, IS machines allowed the
simultaneous production of a number of bottles from one piece of equipment. The
gob feeder-IS machine combination remains the basis of most automatic glass container
production today.



Modern Flat Glass Technology
 In the production of flat glass (where, as explained earlier, molten glass had previously
been poured onto large tables then rolled flat into "plates", cooled, ground and
polished before being turned over and given the same treatment on the other surface), the
first real innovation came in 1905 when a Belgian named Fourcault managed to
vertically draw a continuous sheet of glass of a consistent width from the tank.
Commercial production of sheet glass using the Fourcault process eventually got under
way in 1914.

Around the end of the First World War, another Belgian engineer Emil Bicheroux
developed a process whereby the molten glass was poured from a pot directly through
two rollers. Like the Fourcault method, this resulted in glass with a more even
thickness, and made grinding and polishing easier and more economical.

An off-shoot of evolution in flat glass production was the strengthening of glass by means
of lamination (inserting a celluloid material layer between two sheets of glass). The
process was invented and developed by the French scientist Edouard Benedictus, who
patented his new safety glass under the name "Triplex" in 1910.

In America, Colburn developed another method for drawing sheet glass. The process was
further improved with the support of the US firm Libbey-Owens and was first used for
commercial production in 1917.

The Pittsburgh process, developed by the American Pennvernon and the Pittsburgh Plate
Glass Company (PPG), combined and enhanced the main features of the Fourcault and
 Libbey-Owens processes, and has been in use since 1928.

The float process developed after the Second World War by Britain's Pilkington Brothers
Ltd., and introduced in 1959, combined the brilliant finish of sheet glass with the
optical qualities of plate glass. Molten glass, when poured across the surface of a bath of
molten tin, spreads and flattens before being drawn horizontally in a continuous
ribbon into the annealing lehr.

Conclusion
 Although this brief history comes to a close nearly 40 years ago, technological evolution
naturally continues. Not yet ready to be "relegated" to a history of glass are areas such
 as computerized control systems, coating techniques, solar control technology and
"smart matter", the integration of micro-electronic and mechanical know-how to create
glass which is able to "react" to external forces.

DEEL 1: Fractalen

MEETKUNDE

De meetkunde of geometrie is een onderdeel van de wiskunde die zich bezighoudt van het bepalen van afmetingen, vormen, de relatieve positie van figuren en de eigenschappen van de ruimte. De specifieke term ‘meetkunde’ werd rond 1600 door de Vlaamse wiskundige Simon Stevin geïntroduceerd.

De meetkunde is echter een van de oudste wetenschappen. Aanvankelijk was meetkunde een geheel van praktische kennis over lengtes, oppervlakten en volumes. In de 3e eeuw voor Christus door Euclides van Alexandrië van een axiomatisch fundament voorzien. De axioma’s werden gebruikt voor de wiskundige definietie van punten, rechte lijnen, krommen en vlakken, waar zich later de gehele meetkunde heeft uit ontwikkeld. De euclidische meetkunde was bijna 2000 jaar de norm, waaraan al het andere werk werd afgemeten.

Archimedes ontwikkelde ingenieuze technieken  voor het berekenen van oppervlaktes en volumes. Ook in het veld van astronomie, waar men de posities van de sterren en planeten afschrijft op de hemelse koepelsfeer en beschrijft de relatie tussen bewegingen van hemellichamen, diende als een belangrijke bron van geometrische problemen tijdens het volgende en een half millenium. In de klassieke wereld, beide geometrie en astronomie waren een onderdeel van de zeven vrije kunsten, die belangrijk geacht waren voor elke vrije burger te studeren.

De praktische meetkunde is ontstaan als een praktische wetenschap, die zich bezighield met landmeten, afmetingen van voorwerpen, oppervlakte en volumes. Onder de opmerkelijke prestaties vindt men de formules voor het berekenen van lengten, oppervlakten en volumen, zoals de stelling van pythagoras, omtrek en oppervlak van een cirkel, opperclak van een driehoek, volume van een cilinder, sfeer en een piramide. Ontwikkelingen in de astronomie hebben samen met de daarmee gepaarde gaande computationele technieken tot de opkomst van de trigonometrie en de boldriehoeksmeetkunde.

De axiomatische meetkunde wordt gebruikt als een methode om bepaalde ontoegankelijke afstanden en hoogten te berekenen op basis van gelijkvormigheid van meetkundige figuren. Deze worden toegeschreven aan Thales van Milete. Deze liep vooruit op de meer abstracte benadering van de meetkunde, zoals door Eculides van Alexandrië uiteen werd gezet in zijn ‘Elementen’. Euclides voerde bepaalde axioma’s ( ook wel postulaten genoemd) in, op basis waarvan hij primaire of vanzelfsprekende eigenschappen van punten, lijnen en vlakken formuleerde. Daarna ging hij over tot een strenge deductie van andere eigenschappen van deze wiskundige objecten met behulp van wiskundige redeneringen. Het karakteristieke kenmerkt van de aanpak van Euclides van de meetkunde was haar strengheid.

In de Griekse oudheid besteedden wiskundigen bijzondere aandacht an de constructie van reeds bekende meetkundige objecten. Klassieke intrumenten die werden toegestaan in de meetkundige constructies waren de passer en een liniaal zonder schaalverdeling; dat laatste omat er nog geen symbolische notatie bestond voor getallen. Getalwaarden werden weergegeven doorgeconstrueerde lengten en oppervlakten. Sommige problemen bleken echter moeilijk of onmogelijk met deze middelen alleen op te lossen. Men vond inginieuze constructies met behulp van parabolen en andere krommen, zelfs mechanische apparaten. De aanpak van meetkundige problemen met meetkundige of mechanische middelen staat bekend als de synthetische meetkunde.

De pythagoreeërs beschouwden reeds de rol van getallen in de meetkunde. De ontdekking van de incommensurabele lengtes, die volkomen in strijd waren met hun filosofische opvattingen, zorgde echter voor een crisis en leidde er toe dat men de studie van de (abstacte) getallen verliet ten gunste van (concrete) meetkundige grootheden, zoals de lengte en oppervlakte van figuren. Getallen werde in vorm van coördinaten pas opnieuw in de meetkunde geïntrodueert door René Descates, die besefte dat de studie van meetkundige vormen door hen algebraische weergave kan worden vergemakkelijkt.

De analytische meetkunde past algebraische methoden toe op de meetkundige vragen, typisch door meetkundige krommen en algebraische vergelijkingen aan elkaar te relateren. Deze ideeën speelde in de 17e eeuw een belangrijke rol in de ontwikkeling van de analyse en leidden tot de ontdekknig van vele nieuwe eigenschappen van krommen. De moderne algebraische meetkunde beschouwt gelijksoortige vragen, maar dan op een veel abstracter niveau.

Verder, toonde de theorie van perspectief aan dat er meer aan geometrie of meetkunde dan enkel de meetbare eigenschappen van een figuur: perspectief is de ontstaan van projectieve meetkunde. Nog verder werd het veld van de geometrie verrijkt door de studie van de intrinsieke structuur van geometrische objecten, die ontstaan zijn bij Euler en Gauss en geleid hebben tot het ontstaan van topologie en differentiaal geometrie.

In de bijna 2 duizend jaar na Euclides, tijdens wanneer het aantal meetkundige vraagstukken die ook beantwoord zijn zijn uitgebreid, bleef het basisbegrip van ‘ruimte’ hetzelfde. Immanuel Kant argumenteerde dat er enkel één absolute, meetkunde, die gekend is a priori door een inner vermogen van de geest. Dit belangrijk idee was de aanzet tot de revolutionaire ontdekking van niet-euclidische meetkunde in het werk van Bolyai, Lobachevsky, and Gauss. Zij toonden aan dat de oorspronkelijke Euclidische ruimte enkel één mogelijkheid is voor de ontwikkeling van geometrie. Een brede visie op geometrie werd vervolgens uitgedrukt door Riemann in zijn theorie die aanschouwt zeer algemene ruimten waarin de notie lengte in weergegeven wordt, is een steunpilaar voor de moderne meetkunde. Riemann’s nieuwe idee van ruimte was cruciaal in Einstein’s algemene relativiteitstheorie.

FRACTALEN

Een fractal, ook wel fractaal genoemd is een meetkundige figuur die zelfgelijkend is, dat wil zeggen opgebouwd is uit delen die (min of meer) gelijkvormig zijn met de figuur zelf.

Fractalen hebben een oneindige hoeveelheid details en uitegetekend op een computer kan men oneindig blijven inzoomen of uitzoomen. Fractaaltekeningen zijn dus meetkundige figuren met een oneindige grote ‘resolutie’. Zo kunnen fractals gegenereerd worden door het herhaald toepassen van een bepaalde bewerking.

Wiskundige objecten met fractale eigenschappen werden pas eind 19e, begin 20ste eeuw ontdekt door wiskundigen als Helge von Koch, Georg Cantor, Henri Pointcaré, Gaston Julia,...

De term fractaal werd in 1975 voor het eerst geintroduceerd door Benoit B. Mandelbrot. Het woord is afgeleid van het Latijnse ‘fractus’, wat ‘gebroken’ betekend.

Helge von Koch was een Zweedse wiskundige die zijn naam gegeven heeft aan een van de bekendste en eerste fractale kromming beschreef, de Koch snowflake.

Mandelbrot was een Poolse, maar ook deels franse en amerikaanse wiskundige. Hoog gewaardeerd voor zijn ‘theory of roughness’ and ‘self-similarity’ in de natuur op vlak van fractale meetkunde. Later ontdekte hij de bekende “Mandelbrot set” van ingewikkelde, nooit eindigende vormen.

Mandelbrot was één van de eerste die toegang had tot graphische gegevens op computers voor het maken en visualiseren van fractale meetkundige vormen. Zo kon hij aantonen hoe visuele complexiteit kan rusten op heel simpele (vaak algoritmische) regels. Hij zei dat de dingen die vaak aanzien werden als chaotisch, zoals wolken, bergtoppen of kustlijnen, eigenlijk een bepaalde graad van orde hebben.

“Nature exhibits not simply a higher degree but an altogether different level of complexity ... The existence of these patterns challenges us to study these forms that Euclid leaves aside as being "formless."

~Benoit Mandelbrot

De fractaalmeetkunde of ‘fractal geometrie’ is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van fractalen. Het is een aanvulling op de klassieke meetkunde met toepassingen in de wetenschap, technologie en computerkunst.

FRACTALE DIMENSIE

In de klassieke (euclidische) meetkunde van figuren is een rechte lijn gesitueerd in de 1ste dimensie, een vlak in de 2de dimensie en tenslotte een ruimtelijke vorm in de 3de dimensie. Het begrip dimensie zoals we dat in het dagelijks kennen, is de Euclidische dimensie en dit is altijd een geheel getal (zoals 1, 2, 3, 4, enzv.)

Voor fractalen kan de dimensie niet zo eenvoudig aangegeven worden. Bij het herhalingsprocess waarbij een lijnenfiguur een fractal benadert, kan soms een tweedimensionaal gebied volledig gevuld worden en benadert de ééndimensionale vorm een tweedimensionale. Fractalen kunnen zich met andere woorden tussen de klassieke (gehele) dimensies bevinden.

Mandelbrot stelde vast dat de meeste fractalen een niet-geheeltallige dimensie hebben, die de fractaaaldimensie wordt genoemd. Elke verzameling met een niet-geheeltallige dimensie is dus een fractaal of fractal.

Een fractale dimensie is ook gekarakteriseerd als een maat van de ruimtevullende capaciteit va een bepaald patroon, die vertelt hoe een fractal anders schaalt dan de ruimte, waarin deze fractal is ingebed.

In de wiskunde is de hausdorff-dimensie, een niet negatief reëel of eventueel oneindig dimensiebegrip. De hausdorff-dimensie veralgeemt het begrip dimensie van een reële vectorruimte en kent aan elke metrische (getekende) ruimte een dimensie toe. Daarmee kijgen bijvoorbeeld ook fractalen een dimensie, zij het niet een geheel getal.

Voor gewone objecten als een punt, een lijn of een vlak komt de hausdorff-dimensie overeen met de gebruikelijke dimensie. Er zijn echter vele onregelmatige verzamelingen die niet een gewone dimensie hebben, maar wel een niet-geheeltallige hausdorff dimensie.

Het begrip werd in 1918 geïntroduceert door de duitse wiskundige Felix-Hausdorff. Veel technieken die worden gebruikt om de hausdorff-dimensie voor zeer onregelmatige verzamelingen te berekenen, werden ontwikkeld door Abram Besicovitch.

Het tapijt van sierpinskie, een object met hausdorff-dimensie (ln 8 / ln 3), dus ongeveer 1,8928

FRACTAL ALS NATUURVERSCHIJNSEL

De term fractaal werd voor het eerst gebruikt in 1975 door Benoit Mandelbrot. Het komt van het latijnes woord ‘fractus’ en betekend ‘gebroken / onregelmatig oppervlak’. Zoals het oppervlak van een gebroken steen of bot.

Fractalen zijn onregelmatige meetkundige vormen die hetzelfde niveaus van onregelmatigheid vertonen op elke schaal van de fractaaltekening. Net zoals de steen die aan de voet van een berg ligt, gelijkt op een miniatuur van de berg, waar de steen oorspronkelijk afbrak en naar beneden rolde. En zo ook zijn fractalen zelf-gelijkend wanneer men ze van dicht of van ver bekijkt.

Fractals zijn de soort van vormen die we zien in onze eigen natuur en in de beleving van die natuur. Enerzijds kunnen we een rechthoekige driehoek abstraheren in het idee, maar om een perfecte rechthoekige driehoe te vinden in de natuur is van een andere orde. We zien bomen, bergen, stenen en allerlei soorten wolken, maar wat is nu precies de formule voor een wolk of berg? Fractale meetkunde poogt een waging om vragen als deze te beantwoorden. Met de fractale meetkunde ontdekt men een verbazend samenhangend geheel achter het zo lijkende chaotische universum.

Benaderende fractalen vinden we voortdurend in de natuur, ze vertonen zelf-gelijkheid tot op een bepaalde schaal maar ze zijn eindig. Het verband tussen fractalen en bladeren wordt momenteel gebruikt om te bepalen hoe veel koolstof de boom bevat.

Voorbeelden van verschijnselen of fenomenen die geweten zijn in de natuur die fractale eigenschappen vertonen:

River networks, fault lines, mountain ranges, craters, lightning bolts, coastlines, mountain goat horns, trees, animal coloration patterns, Romanesque broccoli, pineapple, heartbeat, earthquakes, snowflakes, psychological subjective perception, crystals, blood vessels, pulmonary vessels, ocean waves, DNA, fractals also comes from higher fractals,...

ATTRACTOR

Een attractor of aantrekker is in de systeemtheorie iets waar een dynamisch systeem zich in de loop van de tijd naar toe evolueert en daar vervolgens blijft, ongeacht of er sprake is van enige verstoring achteraf. Het systeem legt zo een bepaald traject in de richting van de aantrekker af. Dit traject kan de vorm hebben van een periodieke of chaotische functie (in het geval van een vreemde aantrekker).

Het begrip aantrekker of ‘attractor’ heeft uiteenlopende betkenissen. In meetkundig opzicht kan een attractor bijvoorbeeld een punt, een lijn, een oppervlakte, een inhoud, een limietcykel, een kromme of een variëtiet zijn. In enkele gevallen heeft een attractor zelfde de structuur van een fractal en een chaotische of hausdorff-dimensie. Men spreekt in dit geval van een vreemde aantrekker of ‘strange attractor’

Bij een periodiek stelsel, bijvoorbeeld bij de meeste bewginen in het zonnestelsel zoals de baan van ed aarde om de zon, doorloopt het systeem telkens een beperkt aantal toestanden opnieuw. De verzameling van toestanden kan een baan genoemd worden. De beschrijving vergt maar een beperkt aantal kenmerkende getallen, bijvoorbeeld de lengte van het jaar. De zon dient hierbij als de (gewone) aantrekker van het stelsel middels de zwaartekracht.

Er zijn drie soorten gewone aantrekkers, de twee eenvoudigste zijn dekpunten en limietcykels. Een iets moeilijkere is de limiettori.

Een dekpunt is een punt in een functie dat niet verandert onder invloed van een transformatie. De transformatie is in dit geval de evolutie van het dynamisch systeem. Het dekpunt kan bijvoorbeeld het eindpunt van deze evolutie zijn, zoals het water dat overblijft in een fles nadat eerst de ijsblokjes zijn gesmolten.

Een limietcykel is een periodieke baan die door een geïsoleerd systeem wordt beschreven. Een voorbeeld hiervan is de dag en nacht-cyclus of de cyclus van de maan.

De vreemde aantrekker of strange attractor is als wiskundig begrip voor het eerst genoemd in een publicatie van 1971 van de wiskundigen David Ruelle en Flaris Takens. Het wordt gebruikt voor de beschrijving van aantrekkers in determinisctische niet-periodieke bewegingen van een chaotisch systeem en is daarmee een belangrijk begrip in de systeemtheorie of chaostheorie genoemd. Voorbeelde van vreemde attractoren zijn de Lorenz-aantrekker, de Rossler-aantrekker, de Hénon-aantrekker en de Tamari-aantrekker.

Sommige hemellichamen (en vele ander systemen in de natuurkunde, de biologie en zelfs sociale wetenschappen) doorlopen een eindeloze reeks toestanden die niet periodiek zijn. Zij zijn daardoor grotendeels onvoorspelbaar, zeker op de langere termijn. Dit is in het algemeen het gevolg van de gelijktijdige werking van meerdere krachten die een niet-linaire invloed uitoefenen op het stelsel of systeem.

In zo een stelsel kan een toestand nooit volledig herhaal worden, al kan het bijzonder dicht bij een voorgaande staat komen. Het steeds groeiende verschil in de ontwikkeling van een stelsel wordt het vlindereffect genoemd. Bijvoorbeeld het verschil in luchtdruk dat door een vlinder  in china gemaakt wordt, kan op het moment dat de vlinder met zijn vleugels fladdert misschien het verschil tussen 1 en 1.00000000000001 atmosfeer uitmaken. Maar door de ontwikkeling van het weer kan dit in België dan weer het verschil uitmaken tussen prachtig weer of een hevige onweersbui.

DE CANTORVERZAMELING

De cantor verzameling, genoemd naar de Duitse wiskundige Cantor, is een deelverzameling van de reeële getallen die volgens de de maattheorie de maat 0 heeft.

De maattheorie is het deelgebied van de wiskunde dat de elementaire begripen van maat (lengte, oppervlakte en volume) veralgemeent, zodat ook aan ingewikkelder verzamelingen dan die van ‘gewone’ punten in een ruimte een maat kan worden toegekend.

Naar analogie van de hieronder beschreven cantorverzameling noemt men soortgelijke verzamelingen ook cantorverzamelingen.

De cantorverzameling is ook een zeer eenvoudig fractaal, die multi-dimensionaal kan gerepresenteerd worden.

The cantor set, met een hausdorff-dimensie van ongeveer 0.6309

The assymetric cantor set, met een haussdorff-dimensie van ongeveer 0.6942

Andere varianten op de cantor set zijn:

Smith-Volterra-Cantor set, met een hausdorff-dimensie van ongeveer 1

2D Cantor dust, met een hausdorff-dimensie van ongeveer 1.2619

Cantor stof is een multi-dimensionale versie van de cantor set.  Net zoals de Cantorverzameling, is Cantor stof een nulverzameling. Dit wil zeggen een verzameling die als maat nul heeft.

Een verzameling  met maat nul, en dus een nulverzameling, hoeft niet noodzakelijkerwijs te betekenen dat de verzameling ook geen elementen bevat. Binnen de verzameling van de reeële getallen en de hierop gebruikelijke maten is het zo dat iedere verzameling met een eindig aantal elementen een nulverzameling is.

Het gaat zelfs nog een stapje verder: ook verzamelingen met een oneindig, maar aftelbaar aantal elementen zijn een nulverzameling.

En zelfs dit wordt overtroffen: er bestaan namelijk overaftelbare verzamelingen die toch een nulverzameling zijn. Een voorbeeld van het laatste is de cantor set.

DE LOGARITMISCHE SPIRAAL

De logaritmische spiraal is een meetkundig figuur. Deze spiraal komt veelvuldig voor in de natuur, meer bepaald in de biologie. Dit komt doordat de aangroei van de voerstraal evenredig is met de voerstraal zelf, met als gevolg dat de voerstraal een exponentiële functie van de hoek is. In biologische termen vetaalt zich dat als een aangroei die evenredig is met de reeds bereikte grootte van het organisme. De wiskundige Jakob Bernoeilli gaf deze curve de Latijnse naam; Spira mirabilis.

Zoals reeds vermeld is de aangroei van de voerstraal bij de logaritmische spiraal evenredig met de exponent van de voerstraal. Dit principe, een aangroei die evenredig is met de reeds aanwezige afmetingen, vindt men terug in biologische systemen, zoals schelpen van weekdieren. Ook een havik nadert zijn prooi via een logaritmische spiraal. Dit is het gevolg van het feit dat hij het scherpst ziet onder een bepaalde hoek tegenover zijn vliegrichting.

DE VON KOCH KROMME

De koch-kromme is in de wiskunde een kromme die in 1904 bedacht is door de Zweedse wiskudige Helge von Koch als bijvoorebeeld van een kromme die overal continu is, maar nergers differentieerbaar. De kromme is wat we nu, 100 jaar later, een fractal noemen en wordt voorgesteld door de grenslijn van het groene gebied in de onderstaande figuur:

Bovendien is de lengte van de Koch-kromme oneindig, de lengte van de iteraties wordt met elke stap een facter 4/3 groter. Dat houdt ook in dat de lengte van elke deelkromme, die gelijkvormig is met de kromme, ook onbegrensd is. De afstad van enig punt van de kromme tot om het even welk ander punt, is dus ook oneindig.

Hoewel  de kormme een onbegrensde lengte heeft, is de oppervlakte van het gebied onder de kromme (groen in de figuur) wel eindig. De kromme is een fractal met Hausdorff-dmensie van ongeveer 1.26

Bekend is ook de koch-sneeuwvlok die ontstaat door te beginnen met een gelijkzijdige driehoek en op iedere zijde ervan het bovenstaande iteratieproces toe te passen.

TAPIJT VAN SIERPINSKIE & SPONS VAN MENGER

Een ander analoog van de 2D cantorverzameling is het Sierpinski tapijt, waar een vierkant is onderverdeelt in negen kleineren vierkanten, de middelste verwijderen, en de overige acht vierkanten worden dan verder verdeelt in negen nog kleinere vierkanten en zo onendig verder. Het 3D analoog  van dit is de Menger spons.

Het tapijt van Sierpinski, met een hausdorff-dimensie van 1.8687

Menger spons, met een hausdorff-dimensie van 2.768

DE ZEEF VAN SIERPINSKI & DE DRIEHOEK VAN PASCAL

De driehoek van sierpinski is een fractal die werd ontdekt door de Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski.

Uit een gelijkzijdige driegoek wordt de driehoek verwijderd die gevormd wordt door de middens van de zijden. Vervlgens wordt deze procedure herhaald in elk van de drie overgebleven driehoeken. De procedure wordt oneindig herhaal. Wanneer dit proces in de ruimte wordt herhaald, krijgt men een piramide.

Evolutie van de driehoek van sierpinski:

De driehoek of zeef van sierpinski, heeft een hausdorff-dimensie van ongeveer 1.585

Als men in een driehoek van pascal de even getallen wit en de oneven getallen zwart kleurt is het resultaat de sierpinski-driehoek. De oppervlakte van een sierpinksi-driehoek is nul. De oppervlakte die overblijft na elke iteratie is altijd ¾ van de oppervlakte van de vorige iteratie, en een oneindig aantal iteraties resulteert daarom in een oppervlakte van nul.

Driehoek van pascal

Andere varianten zijn de sierpinksi tetrahedon en  de fractal piramide.

Sierpinski tetrahedon, met een hausdorff-dimensie van 2

Fractal piramide, met een haussdorff-dimensie van 2.3219

LEVY C KROMME (LEVY –DRAAK)

In wiskunde, de Levy C kromme is een zelf-gelijkende fractaal die voor het eerst beschreven werd door, en wiens eigenschappen geanalyseerd werden door Ernesto Cesaro in 1906.

Men kan deze construcie opbouwen d.m.v een Lindenmayer systeem:

Variabelen: F (draw forward)

Constanten: +/-  (turn  (anti-)clockwise)

Start: F

Rules: F -> + F- -F +

De fractale kromme die de limiet is van dit oneindig process wordt de Lévy C kromme genoemd. De Lévy C kromme heeft een haussdorf-dimensie van bijna 2 (1.9340).

De eerste acht stadia in de opbouw van de Levy C kromme:

De Levy C kromme, na de eerste 12 stadia

PEANO-KROMME

In de meetkunde of geometrie is de Peano kromme het eerste voorbeeld van een appervlakte vullende curve, die is ontdekt  bij Giuseppe Peano in 1890. De Hausdorff-dimensie is exact 2.

Constructie:

Een verzameling van krommen die gebouwt zijn op een gelijkaardige manier zin:

The Moore curve (kan uitgebouwd worden tot 3 dimensies

Z-kromme

H-FRACTAL

Een H-fractal of ook wel mandelbrot-boom , kan worden geconstrueerd door te beginnen met een lijnstuk van willekeurige lengte, teken teken twee kortere segmenten haaks op de eerste door zijn eindpunten, en zo herhalen, terwijl men steeds de lengte van de segmenten deelt door √2.

De H-fractal is een zelfgelijkende meetkundige figuur met een haussdorff-dimensie van 2. De punten van de H-fractaal komen heel erg dicht tot elk punt in een rechthoek, toch niet helemaal.

DE LINDENMAYER OF L-SYSTEMEN

Een L-systeem of Lindemayer systeem is een parallel herschrijfsysteem en men kan het  ook vergelijken met een soort van formele grammatica. Een L-systeem bestaat uit een alfabet van symbolen die kunnen worden gebruik om een koord van symbolen  of een ‘string’ te maken, een verzameling van productieregels die elk symbool vergroot naar een koord van verschillende symbolen (string), een eerste of initiele axioma string waar de bouw begint te vergroten en tenslotte een mechanisme voor het vertalen van de gegenereerde tekenreeksen in geometricsche structuren.

L-systemen werden geïntroduceerd en ontwikkeld in 1968 door Aristid Lindenmayer, een hongaarse theoretisch bioloog en botanicus aan de universiteit van Utrecht. Lindenmayer gebruikte L-systemen om het gedrag van plantencellen te beschrijven en voor het modelleren van de groeiprocessen van de plant. Als bioloog heeft Lindenmayer gewerkt met bepaalde soorten gisten en filamenteuze schimmels en bestudeerde de groeipatronen van verschillende soorten algen. Oorspronkelijk werden de L-systemen bedacht om een formele beschrijvng te geven van de ontwikkeling van zeer eenvoudige meercellige organismen te voorzien (vb planten), en om de buurtrelaties tussen de plantencellen te illustreren. Later werd dit systeem uitgebreid tot ‘hogere’ planten die complex vertakkende structuren beschrijven.

De herhalende aard van de regels die binnen het L-systeem herhaald worden, leidt tot zelf-gelijkenis en daardoor vaak fractaal-achtige vormen, die heel gemakkelijk te beschrijven zijn met het L-systeem. De modellering  van planten en natuurlijk ogende organische vormen zijn gemakkelijk te definiëren. Bij het verhogen van het herhalingsniveau wordt de vorm steeds  groter en ‘groeit’ het in complexiteit. Lindemanyer systemen zijn ook populair in de vorming van kunstmatig leven.

G = (V, ω, P),

Waarin

V (het alfabet) is een verzameling van symbolen die elementen bevatten die vervangen kunnen worden (variabelen)

Ω (start, axiom of initiator), is een koord van symbolen van V die de eerste toestand van het systeem definiëert.

P is een geheel van productieregels  die aangeven hoe de variabelen worden vervangen door combinaties van constanten en andere variabelen. Elke productie(regel) bestaat uit twee snaren,  een voorganger en een opvolger.

EXAMPLE: Algea

Lindemayer’s originele L-systeem voor het modelleren van het groeiprocess van algen.

Variabelen: A B

Constanten: geen

Start: A

Rules: (A -> AB), (B->A)

En dit produceert:

N= 0 : A

N= 1 : AB

N= 2 : ABA

N= 3 : ABAAB

N= 4 : ABAABABA

N= 5 : ABAABABAABAAB

Andere voorbeelden van L-systemen zijn: Cantor dust, Koch curve, Sierpinski driehoek, drakenkromme,...

DE DRAKENKROMME

Een drakenkromme is elk element van de verzameling van zelf-gelijkende fracaalkromme, bij benadering van herhalingsmethoden zoals de lindenmayer systemen.

De Heighway draak kan geschreven worden als een Lindenmayer systeem met: rechte hoek (90°), initiator string FX, productieregels (X -> X + YF +, Y -> -FX –Y):

De tweeling draak (ook gekend als Davis knuth draak, can gegenereerd worden door de Heighway-drakenrkomme rug-aan-rug.

De tweelingdraak (twin dragon)

Nog een andere variant is de Terdraak (Terdragon):

PENROSE-BETEGELING

Een Penrose-betegeling is een niet-periodieke betegeling, gegeneeerd door een aperiodieke verzameling van “proto-tegels” en vernoemd naar Roger Penrose die deze verzamelingen in de jaren ’70 van de 20ste eeuw heeft onderzocht. Aangezien alle betegelingen verkregen met de Penrose tegels niet-periodiek zijn, worden zo ook aperiodiek genoemd. Dit is echter niet helemaal correct: van de oneindig vele mogelijke betegelingen zijn er slechts twee die wel spiegelsymmetrie  als vijfvoudige rotatiesymetrie bezitten.

Penrose ontdekte dat het vlak kan worden betegeld met slecht twee figuren of ‘tegels’, waarbij:

1. Het vlak kan worden betegeld (zonder overlapping of gaten) door oneindig veel exemplaren van de twee tegels, .
2. Geen enkele betegeling periodiek is
3. Elk eindig begrensd deel van een betegeling een oneingig aantal male voorkomt in elke andere betegeling

voorbeelden van een Penrose betegeling:

BOOM VAN PYTHAGORAS

De boom van pythagoras is een fractal bedacht door de Nederlandse wiskundeleraar Albert E. Bosman in  1942 en werd vernoemd naar Pythagoras vanwege de driehoeksverhoudingen met de kenmerkende rechte hoek. De fractal wordt opgebouwd door vierkante en lijkt op de vorm van een dwarsdoorsnede van een broccoli of bloemkoom

De bouw van de boom van Pythagoras begint met een vierkant. Op dit vierkant worden aan een hoek van 45 graden vervolgens twee kleinren vierkanten gezet. Deze kleinere vierkanten zijn een lineaire factor 1/2√2 kleiner dan het asisvierkant. Zo valt een hoek van het linkervierkant smane met een hoek van het rechtervierkant. Dezelfde procedure wordt vervolgens ad infinitum (“tot in het oneindige”) herhaald toegepast op steeds weer nieuwe vierkanten. De afbeelding hieronder toon de eerste vier iteraties in het bouwproces voor de boom van Pythagoras. De hausdorff-dimensie van de boom is 2.

Een interessante verzameling van variaties op de boom van pythagoras kan men bekomen door de gelijkzijdige driehoek te behouden maar de basishoek (90° bij de standaard boom van Pythagoras. Zeker wanneer men de basis hoek 30° is, dan ziet men dat de grootte van de vierkanten constant blijft. Het gehele patroon noem men de rhombitrihexagonal tiling:

DE HOORN VAN GABRIËL

De hoorn van Gabriël (ook: trompet van Torricelli) is in de wiskunde een ruimtelijk lichaam, uitgevonden door de evangelista Torricelli. Deze truimtelijke figuur is zo bijzonder omdat ze een onbegrensde oppervlakte heeft, maar wel een begrensd volume. De naam verwijst naar het religieuze verhaal van de Dag des oordeels, waarop de aartsengel Gabriel op de trompet blaast. Hierbij wordt het oneindige gelinkt aan het goddelijke.

Omdat de Hoorn een eindig volume heeft maar een oneindig oppervlakte, lijkt het dat de hoorn gevuld zou kunnen worden met een eindig volume van bijvoorbeeld verf, en toch zou die verf niet volstaan om de inner oppervlakte van de figuur te beschilderen. Dit lijkt een paradox te zijn. Toch, zou men de inner en uiter oppervlakte beschilderen, laag voor laag, met verf, zou een oneindig hoeveelheid verf nodig zijn.

3D FRACTALEN OP NANOSCHAAL

Fractals genieten vooral bekendheid in de wiskunde, maar wetenschappers van de Technische Universiteit Twente (Utwente) hebben nu een methode ontwikkeld om fractals in drie dimensies te bouwen op nanoschaal. Volgens de wetenschappers zou dit toepassingen hebben voor FILTERS & KATALYSATORS

Het is de wetenschappers van de Utwente gelukt een stukje wiskunde naar de nanowereld te brengen. Ze ontwikkelde een methode om een driedimensionale structuur te maken die de eigenschappen van een fractal hebben. (in dit voorbeeld schijnbaar oneindig).

ETS NA ETS

De wetenschappers maakten gebruik van een methode die de afgelopen acht jaar aan de Utwente is ontwikkeld en verfijnd. De fractals worden gemaakt door ze als het ware uit een vlakke laaf silicium te etsen. Bij het etsen worden er siliciumatomen ‘weggegeten’ door een etsmiddel.

Om te beginnen wordt er op een laag silicium waarin van te voren piramidevormige kuiltjes zijn geetst een laag van siliciumnitride aangebracht. Deze laag dient als een soort masker, die er voor zorgt dat het etsmiddel op de plekken waar het is aangebracht niet werkt. Het masker wordt door een volgende behandeling eigenlijk meteen weer weggeëtst. Maar cruciaal is dat er in de puntjes van de piramides een restje achterblijft.

Door vervolgens het oppervlak te laten oxideren in een hete oven ontstaat er een harde, niet-etsbare laag van siliciumoxide die over het silicium ligt. Dit gaat als het ware het ‘lichaam’ van de fractaal vormen. De volgende stap is het weghalen van het masker, dat nog steeds in de punt van de piramide vast zit. Nadat dit is gebeurd bestaat de fractaal in wording uit een harde siliciumoxidelaag met een klein gaatje in de punt.

OCTAEDERS

De eerste echte etsstap kan nu plaastvinden waarbij er silicium onder de siliciumoxidelaag wordt weggeetst. Dat is overigens een merkwaardig proces, wat op de punt van de piramide ontstaat niet simpelweg een gat, maar eenzogenoemde octaedrische holte. Dit heeft te maken met de specifieke kristalstructuur van het silicium. Sommige atomen in dit rooster zijn met twee andere buuratomen verbonden, andere hebben drie buren. Daardoor ontstaat er een voorkeursrichting voor het wegetsten van de atomen.

Het octaeder dat nu onder de piramide in de silicumlaag zit kan nu weer behandeld worden met siliciumnitride, het masker dat in de eerste stap ook werd gebruikt. Na verwijdering blijven er opnieuw restjes achter in de puntjes van de structuur. Door dit proces te herhalen groeien er telkens nieuwe octaeders op de hoekpunten van de structuur.

Uiteindelijk ontstaat er een reeks van octaeders die op de hoekpunten kleinere octaeders hebben, die op hun beurt nog kleinere octaeders hebben. Oftewel, een fractal, die in theorie oneindig zou doorgaan. De fractals die nagebouwd worden op nanoschaal zijn echter niet oneindig, er worden vaak 4 of 5 etsrondes gedaan.

FILTREREN & KATALYSEREN

Hoewel fractals vooral in de wiskunde en in de computerwereld veel theoretische mogelijkheden bieden bij bijvoorbeeld de beschrijving van chaotische en natuurlijke systemen, bieden fractals ook verschillende praktische kansen. De fractals die op nanoschaal worden nagemaakt bevatten heel veel gaatjes van min of meer dezelfde grootte. Na vier maal etsen zou men zo’n 625 gaatjes hebben van ongeveer dezelfde grootte. Die zouden bijvoorbeeld prima gebruikte kunnen worden voor het filtreren van vloeistoffen.

Maar ook voor het katalyseren van chemische reacties kunnen deze fractals veel te bieden hebben. Stel nu dat we in de plaats van de siliciumnitridelaag, maar een laag met katalytische eigenschappen zoals goud of zilver. Omdat deze laag door zijn bijzondere structuur z’on grote oppervlakte heeft binnen een klein volume zou hij prime in staat moeten zijn om reacties te katalyseren. Waar reacties in een klein volume bij een relatief lage temperatuur toch snel zou moeten gebeuren